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  解答椭圆问题的常用策略
2009-11-09 20:07:58    
  

 解答椭圆问题的常用策略

江苏省锡山高级中学  杨志文

一、巧用定义

1.椭圆 的两个焦点为 作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P 等于__________.

分析:涉及焦半径问题是可考虑运用椭圆的定义求解。

解:由椭圆方程知, 。即P点的横坐标为 ,代入椭圆方程可得 , .

由椭圆定义知

2.已知定点 ,点F为椭圆 的右焦点,点M在椭圆上运动,求 的最小值,并求此时点M的坐标。

y

A

M

x

O

l

d

分析:注意到 与焦点有关,故考虑将其可转化为点M到相应准线的距离,运用椭圆第二定义求解。

解:

所以离心率 . A点在椭圆内,设M到右准线距离为d,则 ,即 ,右准线

因为A点在椭圆内,所以过A点作 为右准线)于K,交椭圆于点

AMK三点共线,即M与 重合时, 最小为AK,其值为8-(-2)=10.

的最小值为10,此时M点坐标为(

点评:许多数学问题中常出现具有某种特征的数值,若能抓住这些数值的规律及特殊含义,加以分析、联想,可迅速获得问题的解题的方法,避免繁杂的运算。圆锥曲线的统一定义可将“点到点的距离”与“点到线的距离”进行相互转化。

二、灵活运用几何性质

y

Q

P

x

3 为椭圆的两个焦点,过 的直线交椭圆于PQ两点, ,求椭圆的离心率。

分析:可根据椭圆的几何性质 及已知条件,寻求a,b,c之间的关系,进而求出椭圆的离心率。

解:如图, 由椭圆定义得

.所以

所以 .

点拨:解答本题的关键是把已知条件化为a,b,c之间的关系。求椭圆的离心率e的值,即求 的值,所以,解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为a,b,c之间的关系,如特征三角形中三边的关系、椭圆的定义、 等关系都与离心率有直接联系.

三、综合运用数学思想和方法

D

F

B

y

x

A

O

E

4.椭圆中心在坐标原点, 是它的两个顶点,直线 AB相交于点D,与椭圆相交于EF两点.

(Ⅰ)若 ,求 的值;

(Ⅱ)求四边形 面积的最大值.

分析:D是直线ABEF的交点,又EF都在椭圆上,故可考虑从它们的坐标所满足的方程入手,寻找解决问题的突破口。

解:)依题设得椭圆的方程为

直线 的方程分别为

如图,设 ,其中

满足方程 ,故

,得

上知 ,得 .所以

化简得 ,解得

)解法一:根据点到直线的距离公式和式知,点 的距离分别为 .又

所以四边形 的面积为

,即当 时,上式取等号.所以 的最大值为

解法二:由题设, .设



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